leçons sur les équations aux dérivées partielles

Résumé

Comme tous les livres d'Arnold, les Leçons sur les équations aux dérivées partielles font une large place à l'intuition géométrique.L'objectif de l'auteur est de présenter à l'étudiant tout un kaléidoscope d'idées qui jouent un rôle fondamental en mathématiques et en physique et qui appartiennent à la formation de tout mathématicien. Dans ce but, à l'opposé du principe de généralité maximale, adopté le plus fréquemment, il a choisi celui de la généralité minimale : exemples et problèmes forment la base du livre.Il n'existe pas de toute façon de théorie générale des équations aux dérivées partielles, et toute tentative d'en construire une n'aboutit, comme l'explique Arnold, qu'à obscurcir le sujet. Dans ce domaine, les principaux problèmes viennent de la physique mathématique, tout comme les idées et les notions fondamentales qui permettent de les résoudre : énergie, principes variationnels, lagrangien, hamiltonien, valeurs propres et fonctions propres, dualité ondes-particules, solutions fondamentales, potentiels... L'étude de ces notions a été à l'origine du développement de grands domaines des mathématiques : séries et intégrales de Fourier, analyse fonctionnelle, géométrie algébrique, géométrie de contact et géométrie symplectique, théorie de l'indice des opérateurs, et dans ce bref volume, Vladimir Arnold a voulu mettre l'accent sur les relations des équations aux dérivées partielles avec le reste des mathématiques.